Por qué un control P puede quedarse corto
Elige «Solo P»: Kp = 1, Ki = Kd = 0, K = 1, τ = 1 s y referencia r = 1. Al estabilizarse, la planta cumple y = u y el controlador u = 1 − y. Por tanto, y = 0.5 y el error es 0.5. No es un fallo numérico: el control necesita ese error para mantener una orden distinta de cero.
El ejemplo PI acumula el error mientras exista y puede alcanzar la referencia si los límites del actuador lo permiten. No hay una ganancia universalmente «mejor»: importa el proceso, la velocidad de muestreo y lo que el actuador puede hacer.
El modelo que realmente se está simulando
e[k] = r − y[k]
u libre[k] = Kp e[k] + I[k] − Kd v[k]
u[k] = limitar(u libre[k], mínimo, máximo)
v[k] = v[k−1] + α ((y[k]−y[k−1])/h − v[k−1])
α = h / (Tf + h)
I[k+1] = I[k] + Ki e[k] h, salvo bloqueo
y[k+1] = e^(−h/τ) y[k] + K (1−e^(−h/τ)) u[k]
Primero se calcula la orden de la muestra actual; después se actualizan integral y planta. La derivada actúa sobre la medida, no sobre la referencia, y lleva un filtro de primer orden. Inicialmente y, I y v valen cero. Kp y K son adimensionales, Ki está en s⁻¹ y Kd y Tf en segundos; y y u usan unidades arbitrarias normalizadas.
Para terminar exactamente en la duración T elegida se usan N = techo(T / paso máximo) intervalos y h = T/N. El h efectivo se muestra debajo de la gráfica. Se admiten hasta 20 000 intervalos y un paso máximo no mayor que τ/10.
El actuador también tiene límites
Cuando la orden ya está en el límite superior y el error pide aumentarla, la protección de integral congela I. Hace lo equivalente en el límite inferior. Permite integrar si el error ayuda a salir de la saturación. Desactívala en «Referencia inalcanzable» y observa cómo crece I sin que la salida pueda alcanzar el objetivo.
Este proceso es de primer orden, sin retardo, ruido, fricción ni perturbaciones externas. La evolución de la planta es exacta para una orden constante entre muestras; el controlador sí es discreto. La respuesta no valida ganancias para un robot real. Las gráficas se ajustan a su rango y no comparten necesariamente escala vertical.
Errores frecuentes
- Confundir la orden u con la salida medida y.
- Creer que aumentar Ki supera un límite físico del actuador.
- Comparar dos respuestas sin revisar τ, h y los límites.
- Suponer que una derivada grande siempre mejora la estabilidad.
Compruébalo tú
Con Kp = 2, Ki = Kd = 0 y K = 1, ¿a qué valor tiende y?
y = 2(1 − y), por tanto y = 2/3. El error final es 1/3.
Si K = 1 y la orden máxima es 1, ¿puede mantenerse y = 5?
No. La salida estacionaria máxima es K × u máximo = 1. Una integral creciente no cambia ese límite.
Referencia de concepto: integración condicional y saturación, MathWorks. La implementación y los ejemplos de OhmPlay usan el modelo declarado arriba, sin retardo.